Tratamento estatístico

de resultados experimentais

(Produzido pelo grupo de Físico-química do Depto.

de Química do CCEN/UFPA)

INTRODUÇÃO

O estudo dos fenômenos naturais pela elaboração de modelos matemáticos e a medida de sua adequação à realidade é a finalidade das aulas práticas de ciências naturais, que constituem, na realidade, o efetivo exercício do método científico. Durante as aulas práticas o estudante aprende a reduzir a oposição entre o real e o possível e encontrar a região mista, a chamada região do provável: medida de uma grandeza e teoria das incertezas, por exemplo. Tal é a função específica das aulas práticas no desenvolvimento do pensamento científico do estudante.

AULAS PRÁTICAS: OBJETIVOS

Para possibilitar as operações do experimentador sobre o real, um mínimo de aquisições tecnológicas é necessário. O estudante deve se familiarizar com os aparelhos de medida, as unidades, as ordens de grandeza, etc.

Para alguns dos fenômenos o estudante já possui modelos adquiridos durante os estudos pré-universitários: tanto a adequação dos modelos à realidade como o "campo do possível", acessível a partir dos mesmos, serão estudados na medida das possibilidades oferecidas pelos equipamentos disponíveis nos laboratórios.

O caráter transmissível do conhecimento científico bem como o aspecto gregário do trabalho científico serão postos em evidência por meio de experiências realizadas em grupos.

MEDIDAS

3.1. Introdução à noção de medida

Fazer uma medida é comparar duas grandezas de mesma espécie, uma sendo conhecida e a outra desconhecida: medida de comprimento com uma escala, por exemplo. Geralmente esta comparação consiste em associar o conjunto de grandezas da mesma natureza a um espaço vetorial unidimensional. A escolha de uma unidade corresponde à definição do número que mede uma certa grandeza deste conjunto não é outra coisa que a determinação da componente (na verdade componente contra variante) de um vetor particular do espaço considerado.

A comparação direta não é sempre possível; em conseqüência deve-se considerar uma relação (lei física) entre a grandeza a ser medida e outras grandezas conhecidas ou mensuráveis diretamente. Fazer uma medida consiste em "cercar" um valor verdadeiro Vv. Assim se pode entender porque um valor medido só tem sentido quando acompanhado de sua incerteza que representa o intervalo de confiança que se pode atribuir ao resultado.

Antes de fazer uma medida, é necessário questionar sobre:

a natureza da grandeza a ser medida.

a escola dos métodos e aparelhos, em função da precisão desejada.

Para isso é importante falar sobre a natureza da grandeza física, os métodos de medida e as qualidades dos instrumentos de medida.

A natureza da grandeza física

Antes de começar uma medida, é importante conhecer bem a grandeza cujo valor é procurado (unidade, ordem de grandeza, estabilidade no tempo e no espaço, etc.) Essa grandeza pode ser mal definida em função de um parâmetro exterior que varia:

Grandeza física mal definida por natureza: A espessura de uma tábua de madeira não é tão bem definida como a espessura de uma peça metálica retificada. A medida, com precisão, do volume de um sólido de forma qualquer nem sempre é possível com um instrumento que permite a medida das dimensões (paquímetro, por exemplo). Em certos casos é inútil procurar medir com uma precisão melhor do que permita a definição da grandeza física considerada.

Grandeza física função dos parâmetros exteriores: Chama-se "parâmetros exteriores" qualquer causa (temperatura, pressão, campo elétrico, campo magnético, tempo, tipo de aparelho utilizado, etc.) que pode afetar o valor da grandeza física. Por exemplo, uma variação de temperatura de 50 ºC produz uma variação de valor de uma resistência. Um amperímetro e um voltímetro introduzidos num circuito perturbam os valores das correntes e das d.d.p.

Os métodos de medida

Quando uma medida relativa (comparação de uma grandeza desconhecida com uma grandeza conhecida da mesma espécie) é impossível, deve-se usar uma relação entre a grandeza estudada e outras grandezas mensuráveis, isto é uma lei física.

Definir um sistema de unidades consiste em escolher um certo número de grandezas básicas materializadas por padrões físicos. As outras unidades são determinadas a partir de leis, uma vez fixado o valor dos coeficientes numéricos ainda não determinados pela experiência. O sistema mais utilizado no mundo é o Sistema Internacional de Unidades, estabelecido em convenções internacionais.

O sistema internacional (SI) tem 6 unidades fundamentais: o metro, o quilograma, o segundo, o ampère, o kelvin e a candela.

Qualidades dos instrumentos de medida

Para se utilizar um instrumento de medida algumas de suas características podem ser importantes, como, por exemplo, seu peso, seu volume, o tipo de alimentação, o princípio de funcionamento, a facilidade de instalação, a confiabilidade, etc. Mas as características mais importantes são aquelas que definem os vínculos entre o instrumento e a grandeza que ele mede.

O intervalo de mensuração: Um termômetro clínico, por exemplo, possui um intervalo de mensuração entre 34 e 52 ºC. Este intervalo pode ser limitado por causa das "grandezas de influência" que modificam as características do instrumento e que são geralmente mencionadas pelo fabricante (temperatura, campo elétrico, campo magnético, etc.)

Sensibilidade: Quanto mais facilmente um instrumento detecta pequenas variações da grandeza que ele mede tanto mais sensível ele é. Exemplo: se uma balança só for desequilibrada com uma carga maior ou igual a 0,01 grama, sua sensibilidade é 0,01 grama.

Fineza: A fineza se refere à influência do aparelho de medida sobre a grandeza sendo medida. Exemplo: A resistência interna de um voltímetro produz um desvio que modifica a d.d.p. medida. A fineza de um instrumento é boa quando sua reação sobre a medida é pequena, isto é, despezível em comparação à precisão da medida.

Rapidez de resposta. A rapidez de resposta de um instrumento de medida é a qualidade que expressa sua aptidão de seguir as variações temporais de um grandeza física medida. Esta rapidez é limitada pelas massas, momento de inércia, viscosidade dos fluidos, capacidades caloríficas e elétricas, indutância e as correntes induzidas.

Fidelidade: A fidelidade de um instrumento é caracterizada pela reprodutibilidade de suas medidas.

4. UTILIZAÇÃO E ESTUDO DAS MEDIDAS ATRAVÉS DE PROCEDIMENTOS ESTATÍSTICOS.

A execução de uma série de medidas constitui o primeiro passo no exame de um determinado fenômeno natural. A seguir os resultados obtidos devem ser organizados, interpretados e criticados a partir de um tratamento estatístico. Este geralmente permite a extração de maior número de informações e de conclusões mais realistas sobre o fenômeno estudado. Desse modo, são apresentadas a seguir, algumas noções elementares sobre o tratamento estatístico dos dados experimentais.

Algarismos significativos

São os algarismos necessários para expressar os resultados obtidos, durante um experimento científico, com a mesma precisão que as medidas realizadas.

Algarismos exatos

Constituem os algarismos de uma leitura que estão isentos de qualquer dúvida ou estimativa.

Algarismos incertos

Constituem-se, os algarismos de uma medida que estão sujeitos a estimativas. O último algarismo significativo, e apenas ele, deve ser incerto. A soma, divisão ou multiplicação de um algarismo incerto com algarismos exatos é um algarismo incerto.

5. OPERADOR SOMATÓRIO SIMPLES

É uma forma prática de se abreviar expressões matemáticas, com um número muito grande de termos.

n

å xi = x1 + x2 + x3 + ... + xn

i=1

 

n

C . å xi = cx1 + cx2 + cx3 + ... + cxn , sendo C uma constante.

n                          n          n         n

å (xi + yi + zi) = å xi + å yi + å zi

i=1                       i=1      i=1      i=1

6. ERROS

A análise do erro num resultado numérico é fundamental. Os dados disponíveis são raramente exatos, pois são baseados em experiências ou estimativas. Os processos numéricos empregados na obtenção dos resultados, introduzem erros dos seguintes tipos:

Erro sistemático

É devido, principalmente, a fatos independentes do operador, por exemplo, um aparelho com escala mal padronizada. Os erros sistemáticos são constantes em grandeza e sinal, nunca se compensam e podem ser eliminados, em parte, usando-se um aparelho de boa qualidade e padronizando-o da melhor maneira possível.

Erros acidentais ou indeterminados

É o erro devido ao operador. Estes erros são variáveis em grandeza e sinal e se compensam quando o número de medidas é grande. Quando se repete uma medida os erros acidentais geralmente não conservam a mesma magnitude e o mesmo sinal. Em conseqüência, com a ajuda de cálculos aproximados, de informações suficientes sobre as características dos instrumentos utilizados e de métodos adequados, é possível então obter para uma grandeza um conjunto de valores no qual se admite encontrar o "valor verdadeiro".

Erros semi-acidentais

São devidos à maneira de trabalhar ou devidos à aparelhagem. Por exemplo, o esvaziamento incompleto de um béquer. Estes erros são constantes em sinal, mas de grandeza variável.

Erro verdadeiro

É a diferença entre o valor medido de uma grandeza e o valor real

Ei = Xi - X

Erro aparente, afastamento, discrepância ou resíduo

É a diferença entre o valor medido e o valor mais provável.

Ea = Xi - Xvmp

7. CURVA DE DISTRIBUIÇÃO DE ERROS

Quando se dispõe de uma série muito numerosa de medidas de uma grandeza, pode-se construir uma curva de erros ou curva de probabilidades de Gauss.

A curva de Gauss resulta do registro dos valores das medidas Xi na abscissa, enquanto na ordenada se assinala a freqüência Ni em que o mesmo resultado ocorre.

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No caso de um instrumento de medida cuja precisão não permite detectar as flutuações da grandeza medida (instrumento sensível às flutuações) basta levar em conta a precisão do instrumento para determinar a incerteza na medida. No caso contrário é preciso efetuar várias medidas e calcular o valor médio provável. O valor médio da grandeza X possui um domínio de incerteza D X > 0 chamado de INCERTEZA ABSOLUTA e determinado a partir da precisão dos instrumentos ou a partir das medidas repetidas.

Seja um gráfico (figura acima) da probabilidade de se obter o valor verdadeiro de uma grandeza X. Obtém-se uma curva em forma de sino e simétrica em relação ao valor verdadeiro de X indicado por Xv na figura (isto para um grande número de medidas e só considerando os valores aceitáveis). Mostra-se que a probabilidade de se obter um valor Xe exterior ao intervalo Xv - dX e Xv + dX é dado pela razão entre a área cinza na figura e a área total sob a curva da mesma figura.. É determinando um valor considerado para esta probabilidade (em geral 10%) que se escolhe D X. Deste modo, o valor Xe medido se encontra entre Xv- D X e Xv + D X, com uma probabilidade igual a 90%.

A incerteza absoluta permite então a definição do conjunto de valores entre os quais se encontr o valor verdadeiro, pois Xe - D X < Xv < Xe + D X.

A incerteza absoluta não ressalta a perfeição de uma medida pois medir um comprimento de 1 metro com incerteza de 1 centímetro não apresenta a mesma dificuldade que medir um comprimento da ordem de 10 km com a mesma incerteza: este última medida requer uma aparelhagem muito mais precisa, por isto introduz-se a incerteza relativa que é a razão entre a incerteza absoluta D X e o valor absoluto X da medida. Ela caracteriza a precisão da medida, é independente das unidades escolhidas e é sempre positiva.

Nos exemplos citados no parágrafo anterior temos as incertezas relativas de -1/100 e 1/106 respectivamente. Diz-se que a segunda medida é 10,000 vezes mais precisa que a primeira.

Postulados de Gauss:

A probabilidade de se encontrar ou cometer um erro compreendido entre os valores X e X + dX é uma função de X.

Entre os espaços de -¥ a + ¥ a probabilidade de se cometer um erro é igual a 1, isto é, existe a certeza do erro.

O valor mais provável (VMP) de uma grandeza medida N vezes é a média aritmética das medidas realizadas.

São iguais as possibilidades de se cometer erros com o mesmo valor absoluto desde que sejam de sinais contrários.

Com base nos postulados acima e traçando-se um gráfico no qual as abscissas sejam proporcionais aos valores das medidas Xi e a ordenada proporcional às freqüências, obtem-se a curva em forma de sino. A expressão analítica da referida curva é:

                -h2.x2

F(x) = K e

onde K e h são constantes a determinar. Nota-se que quando x é igual a zero, tem-se F(x) = K ou seja, K é ordenada máxima, a qual representa o número de medidas que não diferem do valor mais provável.

Freqüência e probabilidade - Teorema de Bernouille

Freqüência: É a razão entre o número de vezes que um evento determinado ocorreu pelo número de vezes que poderia ter ocorrido.

Probabilidade: É a razão entre o número de eventos favoráveis pelo número de eventos possíveis.

Teorema de Bernouille: Quando o número de eventos tende para o infinito a freqüência tende para a probabilidade

8. PARÂMETROS ESTATÍSTICOS

Uma série de dados contém informações que podem ser traduzidas através de alguns parâmetros classificados abaixo:

Medidas de dispersão - Desvio padrão e amplitude

Medidas de situação - Média, moda, mediana

Medidas de simetria

Medidas de achatamento

Média aritmética simples.

Quando o número de medidas da mesma grandeza é grande, o resultado mais comum de tais medidas, isto é, a tendência "central", é dada pela média aritmética das medidas.

Média aritmética = X1 + X2 + ...+ Xn

                                         n

Média aritmética ponderada

Média aritmética ponderada = N1X1 + N2X2 + ...+ NnXn

                                                               N

onde Ni é o "peso" ou número de vezes que ocorreu o resultado observado

Mediana

É o valor de variável que divide o conjunto de observações em duas partes iguais.

Moda

É o valor da variável que corresponde à observação mais freqüente, isto é, o valor da variável cuja freqüência é máxima.

Erro absoluto e erro relativo

Numa medida expressa na forma 7,25 ± 0,03, o valor ± 0,03 representa o erro sobre o valor absoluto da medida. Esse erro é independente do valor absoluto da medida.

O erro relativo é definido como sendo a fração do erro cometido na medida. Ele depende do valor absoluto da medida.

Exemplos: 7,35 ± 0,03 Er = 0,03/7,35 x 100 = 0,21%

Combinação de erros

Quando uma quantidade de "a" pode ser somente medida indiretamente a partir de medidas "b" e "c", uma boa aproximação dos erros sobre "a" é dada por:

Se a = b ± c, o erro absoluto sobre "a" é a soma dos erros absolutos sobre b e c.

Se a = b.c ou a = b/c o erro relativo sobre "a" é a soma dos erros relativos sobre b e c.

Valor mais provável de uma grandeza

É a média das medidas encontradas , desde que mereçam a mesma confiança. Mesma confiança significa execução de medições pelo mesmo observador, mesmo instrumento e mesmo método.

Qualificação das medidas:

Exatas: Quando o erro sistemático é pequeno. A exatidão da medida indica quão próximo o valor médio experimental está próximo do valor verdadeiro.

Precisas: Quando o erro acidental é pequeno. A precisão de uma medida tem duplo significado; referindo-se à reprodutibilidade de uma medida e ao número de algarismos significativos envolvidos com segurança na referida medida.

A exatidão de um método científico será tanto maior quanto menor o erro constante.

Uma vez calculadas as estimativas dos parâmetros estatísticos necessários para caracterizar a exatidão e a precisão, é necessário ainda saber interpretar os dados colhidos a fim de poder esclarecer certas questões como as enumeradas a seguir. Assim, se a média de uma série de observações diferir algo do valor verdadeiro, será necessário verificar se a diferença simplesmente reflete a flutuação dos erros indeterminados ou deve ser atribuída a um erro constante.

Desvio e erro médio

Como o erro de uma medida é difícil de ser determinado, porque o "valor verdadeiro" raramente é conhecido, é necessário definir um erro de tal modo que não seja necessário o conhecimento desses "valores verdadeiros". Isto é feito utilizando-se o conceito de desvio.

Quando se toma a média aritmética como valor real, pode-se fazer um exame crítico dos resultados, começando pela verificação do desvio Di ou pelo afastamento que cada medida apresenta em relação à média aritmética. Assim:

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Onde X barrado é a média aritmética.

O erro médio u desvio médio, Dm, é a média aritmética do valor absoluto do desvio. Para N medidas:

Dm = [D1] + [D2] + ...+ [Dn]

                      N

Desvio -Padrão e Erro Provável

A qualidade de uma medida é dada conhecendo-se o desvio-padrão, Ds, que dá uma idéia de quanto a medida difere da média, e o erro provável, P, que são definidos pelas relações:

Ds = ± Ö å n D2

N e P = Ds / Ö N

Para um número de medidas igual ou superior a cinco:

Ds = ± Ö å n(Xi - média)2

                        N

Para um pequeno número de medidas, inferior a cinco:

Ds = ± Ö å nDi2

                   N-1

O resultado das medidas é dado por:

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