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Números e ábaco


Se a definição de computador fosse procurada em um dicionário até recentemente poderíamos encontrar algo semelhante a:

"Computador - aquele que faz cômputos ou que calcula;
Máquina à base de circuitos eletrônicos que efetua grandes operações e cálculos gerais, de modo muito rápido."

Ou seja, os computadores estiveram, por muito tempo, associados apenas ao ato de efetuar cálculos.

Portanto, quando se pensa na história da Informática deve-se retroceder também à história da matemática e ao ato de calcular.

Quanto mais retrocedermos na história, menor é a presença dos números.

Inicialmente, provavelmente o homem usou apenas seus próprios dedos para o ato de calcular, o que originou o sistema de numeração decimal e os termos dígito e digital. Para auxiliar, logo começaram a ser utilizados pedras, gravetos, contas ou marcas.

Aparentemente, o homem primitivo não necessitava contar, pois retirava da natureza o que necessitava para a sobrevivência. Os números e o processo de contagem devem ter sido inventados com o desenvolvimento de atividades como a agricultura e o pastoreio, quando o homem foi deixando de ser apenas coletor e pescador e passou a se fixar.

A partir do momento em que o homem pré-histórico deixou de ser nômade tendo passado a construir abrigos e a habitar aldeias, começou a produzir alimentos, domesticar animais. Então, foi preciso delimitar as épocas de plantio e colheita, ou seja, era necessário ter um método para a contagem do tempo e dos alimentos e também contar para conseguir controlar a posse de animais, no pastoreio.

Portanto, foi necessário estabelecer:

a sequência dos números e

uma maneira de representá-los.

É fácil imaginar que o processo de contagem pode ter começado com a correspondência unidade a unidade, em que, por exempo, cada animal corresponderia a uma pedrinha que era armazenada em algum recipiente. Aliás, a palavra cálculo, que usamos hoje, é derivada da palavra latina "calculus", que significa pedrinha.

Civilizações como a egípcia e a babilônica, no início da história da escrita, anotavam os primeiros nove números inteiros pela repetição de traços verticais:

| || ||| |||| ||||| |||||| ||||||| |||||||| |||||||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Quando chegavam a 10, trocavam as dez marcas por um símbolo semelhante a , e continuavam até o 19:

10 15 |||||
11 | 16 ||||||
12 || 17 |||||||
13 ||| 18 ||||||||
14 |||| 19 |||||||||
O 20 era representado por

E continuavam: 30: , 40: ... 90:

Para registrar o número 100, adotaram um símbolo novo:

Com a sua repetição, continuavam representando os números e, para registrar 1000, dez marcas de 100 eram trocadas por outro símbolo:
Conforme mais se aumenta o número total, é claro que esse método de representação é problemático, pois implica em usar cada vez mais símbolos para números com muitos dígitos.

Assim, continuava sendo um problema a representação de grandes quantidades.

Havia também símbolos diferentes para os números 10.000, 100.000 e 1.000.000. Ou seja, como não havia o conceito e a representação do número zero, a cada multiplicação por 10 havia necessidade de um símbolo novo.


(ano ?) - O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se contar nos dedos.

Foto: Ábaco escolar Foto: Ábaco russo

É um calculador decimal, operado manualmente e que consiste em uma moldura retangular com cordas ou arames transversais, correspondentes a uma posição digital (unidades, dezenas, centenas,...) onde ficam os elementos de contagem (contas, bolas, fichas, ...) que podem ser deslizados livremente. De acordo com o número de elementos, há um valor representado.

Não se sabe ao certo em que época surgiu, mas foi desenvolvido independentemente em diferentes locais, como a China e a Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos.

Tipos de ábaco

Russo: era o mais simples, contendo apenas 10 contas. Bastava contá-las para obter suas quantidades numéricas.

Chinês: Exibia 2 conjuntos de contas por fio, contendo 5 contas no conjunto das unidades e 2 contas que representavam 5 unidades. Era denominado suánpan, que significa bandeja de calcular.

Japonês: O ábaco japonês simplificado chamado Soroban é o mais conhecido e é ainda hoje utilizado. Tem 5 contas por fio, agrupadas em 4x1.

Foto: Ábaco japonês Foto: Ábaco chinês

Os gregos e os romanos, na antiguidade, usavam o ábaco para calcular.

Os romanos tinham um ábaco com bolinhas de mármore que deslizavam numa placa de bronze cheia de fendas. Alguns termos matemáticos apareceram então, pois, em latim "Calx" significa mármore, "Calculus" era uma das bolinhas do do ábaco, e "efetuar cálculos aritméticos" era "Calculare".

Existiram várias formas de ábacos, idealizados por diferentes culturas. Seu uso só foi diminuindo, sobretudo na Europa, após o aumento da utilização de papel e caneta. Mas, em muitos locais, é usado ainda hoje para ensinar as operações de somar e subtrair às crianças.


Ainda a.C.


(?) 1700 a. C. - No oriente médio, próximo à Babilônia, foram encontradas tábuas de argila contendo tabuadas de multiplicação e recíprocos. Utilizavam o sistema sexagesimal (base 60) que, aparentemente, deram origem às atuais unidades de tempo.

(?) 800 a. C. - O sistema de numeração romano melhorou bastante a representação das grandes quantidades. Esse sistema usava letras para representar os números:

I V X L C D M IV X L C D
1 5 10 50 100 500 1.000 4.000 10.000 50.000 100.000 500.000

Para escrever um número as letras devem situar-se na ordem de maior valor para a de menor valor.

E não se pode escrever mais de três símbolos iguais e juntos em qualquer número. Ou seja, para não repetir 4 vezes um mesmo símbolo, os romanos utilizavam subtração. Se as letras I, X ou C estão atrás de um V, um L, ou um D, subtrai-se o seu valor à cifra das letras seguintes.

Os números são escritos somando-se os valores das letras. Exemplo:

8 29
 245 1701
V I I I X X I X C C X L V M D C C I
5+1+1+1 10+10+10-1 100+100+50-10+5 1000+500+100+100+1

Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números. Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.

Por exemplo, um D correspondia ao valor 500.000 ( 500 x 1.000 ). Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.

Entretanto, ainda era difícil efetuar cálculos com este sistema.

Exemplo: Sem converter para o sistema decimal, experimente somar XXXIV com XVII.
O resultado é XLI.

Por que é mais fácil somar 34 com 17 que XXXIV com XVII?

É importante notar que no sistema decimal ao colocar o 34 "em cima" do 17, os algarismos que representam as unidades, dezenas, centenas, ... ficam uns sobre os outros, já que estão sempre na mesma posição.

Isso facilita as coisas na hora de somar. Ou seja, o valor representado pelos algarismos depende de sua posição: é uma unidade? uma dezena? uma centena?...

(?) 300 a. C. - O matemático indiano Pingala descreveu um sistema de numeração binário, mas utilizando sílabas longas e curtas. Entretanto, já conseguia representar qualquer número, letra ou imagem.

(?) 100 a. C. - Anticítera é o nome de uma pequena ilha ao sul da Grécia, localizada entre as ilhas de Citera e Creta.

Em 1900 foi descoberto em seu litoral um equipamento que foi chamado de Máquina de Anticítera, que alguns acreditam ser o mais antigo computador mecânico da História.
Foto: Máquina de Anticitera
 Esquema: Máquina de Anticitera

Aparentemente, era um arranjo de pelo menos trinta engrenagens dispostas de forma cuidadosa em uma pequena caixa, com mostradores graduados de forma comparável a um relógio científico moderno.

Curioso é notar que mecanismos com grau de sofisticação similar só viriam a surgir depois do século XIII.

O dispositivo seria uma espécie de simulador, capaz de indicar posições do Sol e da Lua em qualquer data, bastando girar uma manivela. Este giro poderia ser mesmo automatizado, representando o céu junto com um relógio de água.




Vídeo: Virtual Reconstruction of the Antikythera Mechanism (by M. Wright & M. Vicentini)
http://www.youtube.com/watch?v=MqhuAnySPZ0 (acessado novamente em 1/10:2011)
Virtual model of the (still) mysterious Antikythera Mechanism by Mogi Vicentini based on the theoretical and mechanical model by Michael Wright.


Muitos estudos já foram feitos, mas ainda há grandes dúvidas sobre sua utilização que pode ter sido mais astrológica que astronômica.


O zero


(?) - Apesar da invenção do zero ser atribuída aos hindus, há indícios de que já era usado um símbolo para significar o nada na fase final da civilização babilônia. Outra característica do sistema hindu, a base 10, também era mais antiga, tendo sido usada pelos egípcios e chineses. E, ainda, o princípio posicional surgiu antes, no sistema numérico dos babilônios. Portanto, um grande mérito dos hindus foi ter conseguido reunir estas características em um mesmo sistema numérico.

(?) 830 - Nesse ano já havia o zero escrito, o que possibilitou que se efetuasse a aritmética decimal no papel, dando início à chamada "era do papel e lápis".

Então, Abu-Abdula Mohamed ibn-Musa Al-Khwarizmi, um estudioso persa, aprendeu a calcular ao estilo indiano em Brahmagupta.

Al-Khwarizmi escreveu um livro sobre aritmética, intitulado "al arqan al hindu" (algo como "Cálculo com os numerais indianos"), em que fazia a divulgação das técnicas básicas de cálculo e do sistema posicional decimal, em que um mesmo símbolo pode assumir valores diferentes dependendo de sua posição.

Um número posicional baseia-se no princípio multiplicativo, pois cada algarismo representa o produto de si próprio pelo valor de sua posição, ou seja a casa ocupada: unidade, dezena, centena, milhar...

Exemplo: No número 128: 1 significa 1x100, 2 = 2 x 10 e 8 = 8 x1.

Convém ressaltar que já havia outros sistemas posicionais antes do inventado pelos hindus, mas foi esse que os árabes divulgaram, como fizeram com muitas obras do passado, recolhidas das culturas grega, babilônica e hindu e lhes acrescentando sua contribuição. Essa combinação do rigor teórico dos gregos e do aspecto prático dos hindus permitiu progressos em vários campos da ciência.

Dos nomes indus sunya, pujyam e subra, utilizados no livro de Brahmagupta, al Khwarizmi adotou "subra" para denominar o zero. A grafia passou para siphra ou sifr (árabe) e cifra. Daí surgiu o latino "zephirum" de que derivou o termo moderno zero.

O próprio nome do matemático acabou se transformando em "algarismo", que hoje utiliza-se para denominar os símbolos usados para representar números. Também desse radical deriva a palavra "algoritmo", usada em computação.


1000 d.C.


(?) 1202 - Leonardo Fibonacci (ou Leonardo Pisano Bogollo ou Leonardo de Pisa ou Leonardo Pisano ou Leonardo Bonacci) foi um matemático italiano, que viveu em Pisa provavelmente entre 1170 a 1250. Uma época em que o norte da África e parte da Europa, inclusive a península ibérica, estavam sob domínio árabe.

É interessante perceber que em Pisa, ainda influenciada pelo império romano, usava-se os “algarismos romanos”. Mas, no norte da África era utilizado o "método dos hindus", a notação trazida da Índia pelos árabes, que hoje conhecemos como "algarismos arábicos", dentro do sistema numérico posicional de base dez, o sistema decimal.

Fibonacci compreendeu que a notação numérica usada pelos árabes era mais simples e, sobretudo, o uso de seu sistema numérico posicional tão mais fácil que o dos romanos que pós aprender a calcular no sistema indiano, em viagens pela África islâmica e Europa mediterrânea, escreveu um livro, "Liber abaci" em 1202.

Assim, a obra, que incluía a tradução latina da aritmética de Al-Khwarizmi, introduziu o sistema de algarismos indo-arábico no mundo cristão europeu e esclareceu o sistema posicional árabe dos números, incluindo o número zero.

Paralelamente, Leonardo estabeleceu a famosa "sequência de Fibonacci", que consiste em uma sucessão de números, iniciando com 0 e 1, sendo os números seguintes obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Portanto, os números são: 0,1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... da qual se extrai a "proporção áurea", um número envolvido com a natureza do crescimento, que é encontrado por toda a natureza.




Vídeo: Nature by Numbers
http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA (acessado novamente em 22/03:2010)
(A movie inspired on numbers, geometry and nature, by Cristóbal Vila. Go to www.etereaestudios.com for more info: theory behind, stills, screenshots, tutorials and workshops.)


(?) 1250 - John de Holywood (ou Johannes de Sacrobosco), baseado em Al-Khwarizmi e em Fibonacci, escreveu "De Algorismo" ou "Algorismus vulgaris".

Nesse livro discutia o cálculo com números inteiros positivos. Com 11 capítulos, havia temas como adição, subtração, multiplicação, divisão, raízes quadradas e raízes cúbicas.

A obra acabou se tornando o texto sobre matemática mais comum nas universidades medievais, divulgando definitivamente o sistema posicional decimal e suas técnicas de cálculo na comunidade científica da época.

Entretanto, a adoção do sistema pelos comerciantes e pela população foi lenta. A maioria das pessoas continuou a usar os numerais romanos e o cálculo com ábacos por vários séculos. Assim surgiu o termo "decifrar", ou seja, "traduzir" para o sistema romano os números escritos no sistema indiano.


(?) 1405 - Uma máquina impressora de textos, a partir de tipos móveis surgiu na China.


(?) 1440 - A primeira fonte foi projetada pelo ourives Johannes Gutenberg, que desenvolveu um sistema de impressão completo.

Baseando-se em pequenas peças de madeira ou metal com relevos de letras e símbolos inventadas pelos chineses - os tipos móveis. Ele construiu a prensa de tipos móveis, que é um equipamento usado para imprimir textos e figuras, pressionando pequenas peças chamadas tipos, inventadas pelos chineses, com tinta à base de óleo, e transferindo essa tinta para uma superfície de impressão, um papel ou um tecido, semelhante a um carimbo, produzindo várias cópias.

Entretanto, os tipos chineses não eram reutilizáveis. Essa reutilização dos mesmos tipos para compor diferentes textos, inventada por Gutenberg, mostrou-se eficiente e é usada até a época atual.
Tipos móveis justapostos Prensa de tipos móveis de 1811, exposta em Munique


A mecanização, mesmo que a montagem de alguns impressos demorasse dias, permitiu o aumento no volume da publicações, pois possibilitava a impressão em série. Era um processo proto-industrial de produção de impressos muito mais eficiente e confiável do que a cópia de manuscritos feita por copistas.

Assim, houve um grande aumento da produção de páginas escritas, pois uma prensa móvel podia produzir 3.600 páginas por dia, enquanto um escrivão, copiando manualmente, chegava a cerca de 40. Ficou possível produzir livros em grande quantidade, o que deu início à era da comunicação de massa.

Ficou possível a economia baseada no conhecimento e começou a disseminação da aprendizagem da leitura e escrita para pessoas pertencentes a diferentes classes sociais.

O aumento da alfabetização e literacia quebrou o monopólio da elite letrada sobre a educação e aprendizagem, e reforçou a emergente classe média. Começaram a florescer línguas vernáculas por toda a Europa, em detrimento do latim.

Nos anos seguintes a maior circulação de informação e de ideias revolucionárias ultrapassou fronteiras, estimulou a Reforma Protestante e ameaçou o poder de autoridades políticas e religiosas.



Vídeo: imprenta de Gutemberg
http://www.youtube.com/watch?v=L7oGHHnIuBU (acessado novamente em 17/05/2012)
(De cómo se descubrió la imprenta y el proceso de impresión con tipos móviles y la prensa de vinos inventada por Johann Gutemberg.)


É importante lembrar que a liberdade presume um acesso irrestrito à informação. Possibilitar tal acesso, por meio de muitas cópias de livros foi uma das bases da disseminação de sistemas democráticos.

Portanto, a invenção e a difusão da prensa tipográfica de tipos móveis é considerada como o acontecimento mais influente do segundo milênio DC, pois revolucionou a maneira como as pessoas concebem e descrevem o mundo.

A substituição da imprensa operada manualmente, ao estilo de Gutenberg, por prensas rotativas permitiu a impressão em escala industrial, no início do século XIX, qunado prensas giratórias a vapor substituíram a operação manual, fazendo o mesmo trabalho em muito menos tempo.

Outras invenções se seguiram: o linotipo, que possibilitou a composição mecânica dos caracteres. Já no século XX surgiu a fotocomposição que consiste na preparação dos caracteres sobre papel vegetal ou filme fotossensível, que origina as chapas para a impressão.

Finalmente, na segunda metade do século XX, apareceu a composição controlada por computador, por meio de montagens virtuais, que resultam em uma chapa para impressão. E, no início do século XXI, surgiu a impressão digital que elimina a etapa das montagens em filme e também as chapas de alumínio, Ou seja, a impressão é feita diretamente do computador.

(Se desejar saber mais sobre fontes clicar aqui)


Onde encontrar mais informação

Referências Bibliográficas - Vídeos - Imagens

Primeiros jogos digitais



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Última alteração: 17 maio 2012