Biometria
- Bioestatística - EDAP
Duas amostras pertencem a mesma população?
É o mesmo que perguntar: as amostras são
homogêneas? Seus elementos podem ser
adicionados?
Para responder essas perguntas, deve-se comparar as variâncias e
as médias das
amostras., pois duas amostras pertencem à mesma
população se:
1. as suas
médias
não
diferem significativamente ( 
1
= 2
) e
2. as suas
variâncias
não diferem significativamente ( s21
= s22 )
Portanto, para se verificar se esses
valores obtidos na amostra são estatisticamente iguais
compara-se:
1. as variâncias e
2. se as variâncias
não
forem estatisticamente diferentes, compara-se as médias
Comparação entre duas variâncias
Um teste que pode ser feito para comparar
variâncias é o Teste F, proposto por Snedecor, em 1934, em
homenagem a Fisher, em que:
F = razão
entre a maior
variância
e a menor variância, ou seja:
F = s2maior
/ s2menor
Consulta-se a tabela
de F, ao nível de 2,5%,
para encontrar Fc. Usa-se o seguinte critério:
F <
Fc
As variâncias não
diferem significativamente. |
Fc |
F > Fc
As variâncias diferem
significativamente. |
Se as variâncias forem diferentes, com certeza as amostras
são heterogêneas e não é necessário
continuar o teste.
Se as variâncias não forem estatisticamente diferentes,
continua-se, efetuando:
Comparação entre 2 médias
Pode ser utilizado o seguinte teste
t:
t = ( 1
- 2
) / raiz ((s21
/ n1) + (s22 / n2))
em que 1
= média maior e 2 =
média menor
O teste t
Ao se aplicar o teste, quer-se saber se os valores de x1
são,
em média, iguais aos valores de x2.
Há dois tipos de teste:
- bicaudal - utilizado quando
interessam
os resultados de ambos os lados da curva
e
- monocaudal - usado quando
interessam os resultados de apenas um lado da curva.
Como desejamos saber se as médias são diferentes o
teste será do tipo bicaudal.
Ao realizar o teste, chega-se a 2
valores
de t:
1. O t crítico ( tc
) encontrado na tabela de t
e lido
- na linha correta de GL (em que GL
= número de pares -1)
- na coluna de 5%, se o teste for
bicaudal (alfa do teste = 5%) e
- na coluna de 10%, se o teste for
monocaudal, para manter o alfa do teste em 5%, já
que a tabela é bicaudal.
Portanto, procura-se o valor do t
crítico
( tc ):
| Teste |
na linha
|
na coluna
|
| Bicaudal |
correspondente a n-1
graus de
liberdade
|
5%
|
| Monocaudal |
idem
|
10%
|
2. O t calculado, usando as
fórmulas
abaixo
desvio = d = x1
-
x2
d médio = 
= 
d
/
n
erro da média =
sd =
raiz(d2
- [(d)2
/
n] / n(n-1)
t = d
médio
/ erro da média = /
sd
Estabelece-se as hipóteses:
H.
Nula: A
média dos desvios ( )
é igual a zero. |
 |
| H.
Alternativa:
A média dos desvios é diferente de zero. (Teste
bicaudal) |
 ou |
| H.
Alternativa:
A média dos desvios é maior que zero. (Teste
monocaudal
1) |
 ou |
| H.
Alternativa:
A média dos desvios é menor que zero. (Teste
monocaudal
2) |
 |
Para o teste bicaudal a análise é feita
com
base nesses critérios:
t
<
- tc
rejeita-se a hipótese
nula. |
-
tc |
-
tc < t < +
tc
aceita-se a hipótese
nula |
+
tc |
t >
+ tc
rejeita-se a hipótese
nula. |
Para o teste monocaudal a análise é feita
com
base nesses critérios:
| Se t
< tc aceita-se a
hipótese
nula. |
tc |
Se t
> tc
rejeita-se a hipótese nula. |
O t calculado e o t crítico (tc)
O valor calculado para t deve ser comparado
com o valor tabelado de t crítico e determinada a sua
probabilidade.
É
importante perceber que o
valor de t crítico (tc) depende da
hipótese
alternativa:
Como ,
o teste é bicaudal, ou seja, interessam valores de
t
> 0 e < 0.
Exemplo 1
Foram medidas as
distâncias
interpupilares em 2 amostras, uma masculina (1) outra feminina (2). Que
se pode dizer sobre essas distâncias nos dois sexos?
| Amostra 1 |
Amostra 2 |
| n1
= 100 |
n2
= 131 |
| 1
= 62,02 |
2
= 59,20 |
| s21 =
8,00 |
s22 =
7,61 |
a. Comparação entre as duas variâncias
F(99,130) = 8,00 /
7,61
= 1,05
Fc (99,130) =
1,27
Como F < Fc
, as variâncias não são diferentes. Portanto,
passa-se
à:
b.
Comparação entre as duas médias
Estabelece-se as hipóteses:
Hipótese Nula: 
- 
= 0 ou seja,
H. Alternativa:
- 
0 ou seja,
(teste bicaudal)
Encontrando tc
n1 + n2 = 100
+ 131 = 231. Portanto, gl = 231 - 1 -1 = 229.
Procurando tc na
coluna de 5% e na fileira de infinito, encontra-se:
tc
= 1,96
Calculando t
Calcula-se t(229)
= (1
- 2)
/ raiz (s21
/ n1
+ s22 / n2)
t = (62,02 -
59,20) / raiz
(8,00 / 100 + 7,61 / 131) = 7,589, com P < 0,001
<>
Como t > tc
rejeita-se H0 e aceita-se Ha, ou seja, as
médias são estatisticamente diferentes.
Portanto, nesse caso observa-se que as amostras não são
homogêneas. Conclui-se
que a distância interpupilar mostra uma diferença sexual
significativa entre os sexos. Ou seja, a distância interpupilar
dos homens
(amostra 1)
é maior que a das mulheres (amostra 2), já que sua
média
é maior.
Note-se que se outras
hipóteses
poderiam ter sido estabelecidas:
Hipótese Nula:
-
= 0, ou seja,
H. Alternativa:
-
> 0, ou seja,
(teste monocaudal)
Nesse caso, o tc seria
lido na
coluna de 10% e na fileira de infinito, tc =
1,645
E o t calculado,
evidentemente,
continua a ser 7,589.
Como t >
tc rejeita-se H0 e
aceita-se
Ha.Conclui-se que as amostras não são
homogêneas. Portanto, admite-se que a
distância
interpupilar mostra uma diferença sexual significativa.
Exemplo 2
Em 2
amostras foi analisada a mesma variável, com
distribuição
normal e obteve-se:
| Amostra 1 |
Amostra 2 |
| n1 = 10 |
n2 = 20 |
| s21 =
8,10 |
s22 =
2,02 |
| gl 1 =
9 |
gl2
=
19 |
Fc (9,19) = 2,88
F(9,19) = 8,10 / 2,02
=
4,01
Como F obtido (F(9,19) =
4,01) é maior que Fc (Fc (9,19) = 2,88)
conclui-se
que as variâncias são diferentes.
Nesse caso, como as
variâncias
já são diferentes, não é preciso continuar
a análise e admite-se que as amostras não pertencem
à
mesma população, ou seja, que não são
homogêneas.
Casos especiais:
Em casos raros é
necessário
fazer a comparação entre 2 médias de amostras com
variâncias diferentes. O método é o mesmo, mas deve
ser usada uma fórmula especial para o cálculo de t
(Cochrane Cox, 1950). Para amostras que apresentam
distribuição
de Poisson também há um modo especial de calcular.
Este "site", destinado
prioritariamente
aos alunos de Fátima Conti,
está disponível sob FDL
(Free Documentation Licence),
pretende auxiliar quem se interessa por Bioestatística,
estando em permanente
construção.
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alteração: 20 mar 2009
