Biometria
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Algumas distribuições

| Binomial | Normal | Poisson |

A distribuição Binomial

É uma das distribuições mais comuns em Estatística. Uma variável aleatória tem distribuição binomial quando o experimento ao qual está relacionada apresenta apenas 2 resultados (sucesso ou fracasso). Exemplo: Lançamento de uma moeda.

Deriva de um processo conhecido como teste de Bernoulli, em que cada tentativa tem duas possibilidades excludentes de ocorrência (sucesso e fracasso).

O Processo de Bernoulli

Uma seqüência de testes de Bernoulli forma um Processo de Bernoulli, se obedecer as seguintes condições:


a. Cada tentativa admite dois resultados, que são mutuamente excludentes. Denomina-se, arbitrariamente, um dos resultados de sucesso e o outro de fracasso. Chama-se a probabilidade de sucesso de "p". Ela permanece constante em todas as tentativas. Já a probabilidade de fracasso, (1 - p), é denominada "q";

b. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas;

c. O resultado de uma tentativa não é afetado pelos resultados das outras tentativas, ou seja, as tentativas são independentes.


Propriedades

1. f (x) >= 0, para todo x pertencente a R

2. f (x) = 1 n Cx .p x.q (n-x) (em que C = número de combinações).

Equivale à expansão do binômio:

(p + q)n = 1.p0.qn + _. p1.qn-1 + ... + _. pn-1.q1 + 1. pn.q0


em que os coeficientes podem ser obtidos pelo Triângulo de Pascal.

3. São conhecidos os parâmetros da distribuição binomial (n e p), portanto,

Média da população = mi1.gif (3009 bytes) mi1p = n.p usando o dado de um dos acontecimentos ou
mi1q = n.q usando o dado do outro acontecimento
Variância da população = 2 2 = n.p.(1 - p) = n.p.q
Desvio padrão da população = = raiz n.p.q



A distribuição de Poisson

Esta distribuição descreve eventos raros, em que se faz um enorme número de tentativas e aplica-se à situação em que o evento (ou entidade) de interesse está homogeneamente distribuído na população.

Se x for a ocorrência de algum evento aleatório em um intervalo de tempo ou espaço (ou algum volume de matéria), a probabilidade de ocorrência de x é:
mi1.gif (3009 bytes) . ....x = 1, 2, 3, ...

em que:

lambda = parâmetro de distribuição, é a média de ocorrência de x

e = número de Euler ( 2,71828182846... )

O Processo de Poisson

a. A ocorrência de um evento em um intervalo de espaço ou de tempo não tem qualquer efeito sobre a probabilidade de ocorrência de um segundo evento, ou seja, a ocorrência dos eventos é independente;

b. Um número infinito de ocorrências de um evento devem ser possíveis no intervalo;

c. A probabilidade de uma única ocorrência do evento em um dado intervalo é proporcional ao tamanho desse intervalo;

d. Em uma porção infinitesimal do intervalo, a probabilidade de mais de uma ocorrência do evento é desprezível.
Na distribuição de Poisson a média e a variância são iguais a lambda, que representa a taxa com que eventos são observados.

Quando um se faz um grande número de observações, e quando o evento tem uma pequena probabilidade de ocorrer, o número total de eventos tem distribuição aproximadamente Poisson cuja taxa de ocorrência é dada por:

lambda= np


A distribuição Normal

O gráfico que representa a curva normal tem forma de sino, ou seja, é unimodal, e o seu valor de máxima freqüência (moda) coincide com o valor da média e da mediana.

em que Média da população = e Desvio padrão da população =


A equação dessa curva é dada por:

eqnormal

Características

a. A distribuição é simétrica em relação à média.

b. Os valores de média, moda e mediana são iguais.

c. A área total sob a curva é igual a 1 (100%), com exatos 50% distribuídos à esquerda e 50% à direita da média

d. A área sob a curva normal

Sub-área da curva
População Amostra Valor
± 1 xbarra± 1s 68,26 %
± 2 xbarra ± 2s 95,44 %
± 3 xbarra± 3s 99,74 %

e. A distribuição normal é completamente determinada pelos parâmetros
Média da população = mi1.gif (3009 bytes) e Desvio padrão da população =

Distribuição Normal Padrão

É caracterizada pela média ( mi2.gif (2571 bytes) ) igual a zero e desvio padrão ( s) igual a 1.

curnorp1

Se x tem distribuição normal com média e variância s2, então z = ( x - mi1.gif ) / s

A equação dessa curva é:

eqdinopa



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Última alteração: 10 out 2010